T-test y Z-test: diferencias y potenciales riesgos de aplicaciones

Asumiendo la normalidad e independencia de los datos que genera un proceso de alto volumen, siempre existe un alto riesgo de cometer el error tipo 2, aceptación errónea ( false accept, o aceptar lo malo) durante el análisis, cuando no se tiene claro el mecanismo de la prueba T y sobre todo la diferencia con la prueba Z. 

La prueba T es una prueba de señal sobre ruido, es decir la señal de desplazamiento de la media grupal sobre la dispersión de la data del grupo para este tamaño de muestra. La figura siguiente muestra el mecanismo de la prueba T.

 
con el valor T calculado con la ecuacion siguiente:



Cuando el tamaño de muestra mas y mas grande la fracción de la varianza (desviación estándar S al cuadrado) sobre el mismo tamaño de  muestra tendrá tendencia a aproximarse a cero; la raíz cuadrada de este número muy pequeño es aún mucho más pequeño, y por ende la fracción de la diferencia de medias entre este número muy pequeño tendrá tendencia hacia el infinito. En otras palabras se podría obtener un valor del estadístico T tan grande que terminamos con un p- Value mayor a 0.05 y aceptar la hipótesis nula que las medias son iguales, cuando en realidad no las son: error tipo 2. 

Cual es el tamaño de muestra recomendado para pruebas T? Repuesta: menos o igual a 30. Con un tamaño de muestra mayor a 30 se recomienda usar el Z- test para no incurrir en error tipo 2 y robustecer su prueba de hipótesis. Esta es una diferencia de gran importancia entre dos pruebas. 

Una segunda diferencia es en cuanto a la desviación estándar. La prueba t asume que no se conoce la desviación estándar de la población. Si se conoce la desviación estándar de la población, una vez mas es recomendable el uso de la prueba  Z, simplemente porque si conoces la desviación estándar σ de un población de n datos puedes calcular el error estándar (standard error) que es la fracción σ/√n y entonces calcular la prueba z con la formula siguiente:


En conclusión hay dos grandes diferencias a tomar en cuenta cuando se dispone de muchos datos en la muestra en cuanto al uso de la prueba t o la z:

1- cuando n>=30 es  mejor usar la prueba z para evitar caer en una aceptación errónea, error tipo 2  ya que el,estadistico t tienda a ∞
2- cuando se conoce la desviación estándar de la población es mejor usar la prueba z que apunta a una mayor precisión de la decisión estadística tomando en cuenta el error estándar.